以下是解决Chrome浏览器下载扩展后不弹提示框问题的方法：
1. 检查弹出窗口阻止设置：打开Chrome浏览器，点击右上角的三个点图标，选择“设置”。在左侧菜单中选择“隐私和安全性”，点击“网站设置”，找到“弹出窗口和重定向”，确保“允许”选项已启用，或者将特定网站添加到允许列表中。
2. 确认扩展程序来源：如果扩展程序未列在Chrome网上应用店中，可能无法正常安装且不弹提示框。建议从官方的Chrome网上应用店下载扩展程序，以确保其兼容性和安全性。
3. 检查开发者模式设置：如果之前勾选了“开发者模式”并手动安装了扩展程序，可能会出现这种情况。可打开Chrome浏览器的“扩展程序”管理页面（chrome://extensions/），取消勾选“开发者模式”，然后重新加载扩展程序。
4. 查看浏览器版本和扩展兼容性：确保Chrome浏览器是最新版本，旧版本可能存在与某些扩展不兼容的问题。同时，检查扩展程序是否与当前浏览器版本兼容，可在扩展的详情页面或官方网站查看相关信息。
5. 清理浏览器缓存和数据：有时浏览器缓存或数据可能导致扩展安装出现问题。可尝试清理浏览器缓存和Cookie，然后重新下载和安装扩展程序。
6. 检查系统安全软件设置：部分安全软件可能会阻止扩展程序的安装或相关提示框的弹出。可暂时关闭安全软件，或在其设置中将Chrome浏览器及相关操作添加到信任列表中，然后再次尝试安装扩展。